Nous abordons dans cette partie le problème du mouvement d'un corps dans un champ gravitationnel perturbé. Cela signifie que la force principale est la gravitation newtonienne, mais qu'il s'y ajoute une force perturbatrice qui va affecter de manière continue l'orbite.

En pratique, une surveillance par restitution d'orbite s'impose et une maintenance appropriée doit être mise en place, pour assurer la mission nominale du satellite.

1°) Origine des perturbations sur un satellite terrestre :

On peut distinguer plusieurs types de perturbations, caractérisées par leur accélération.

a ) Dues à la terre elle-même, non sphérique, non homogène par couches, le potentiel réel de gravitation est alors complexe, développé en série, avec le premier terme principal représentant le potentiel newtonien et une partie perturbatrice traduisant les divers "défauts" de la terre. Nous n'entrons pas dans le détail des termes de la série, renvoyant le lecteur aux ouvrages spécialisés notamment du CNES, mais signalons que pour les applications les plus courantes, seul est pris en compte le terme dit en J₂ traduisant l'aplatissement polaire de la terre, dans le potentiel perturbateur U_P, alors que U_K désigne le potentiel képlérien ( pour 1 kg ).

NB 2 : Le calcul ci-dessus montre que l'aplatissement polaire crée d'une part une force supplémentaire centrale qui modifie le moyen mouvement et d'autre part une force parallèle à l'axe nord - sud, qui perturbe les paramètres orbitaux angulaires. En effet, la terre se comporte comme une sphère avec un "bourrelet" équatorial, comme sur la figure, on comprend mieux alors l'origine de la perturbation.

b ) Dues à l'attraction luni-solaire. On fera attention au fait que l'accélération due à ces perturbations sur un satellite n'est pas constituée par les attractions de la lune ou du soleil, mais est une différence de deux termes voisins, l'un l'accélération créée sur le satellite, l'autre l'accélération créée sur la terre.

c ) Frottement atmosphérique résiduel : cette perturbation se fait surtout sentir au périgée pour les orbites elliptiques et partout, sur les orbites circulaires basses au dessous de 500 km d'altitude. Le freinage résulte de la traînée, non négligeable car, bien que la masse volumique de l'air soit très faible, la vitesse relative est de l'ordre de 7 à 10 km/s, intervenant par son carré dans l'expression de la traînée.

S surface de référence, C_D un coefficient de traînée de l'ordre de 2 à 3, V la vitesse air.

A un degré moindre la terre réémet de la lumière vers le satellite créant une pression de radiation rediffusée par la terre.

e ) Accélération perturbatrice : C'est la notion importante de ce cours, elle est définie comme quotient de la résultante de toutes les perturbations par la masse du satellite. Le lecteur se convaincra que cette accélération, tout comme les forces en mécanique, ne peut dépendre que de la position, de la vitesse et du temps t.

e ) Ordre de grandeur des accélérations perturbatrices en orbite Z = 822 km

Soleil 6 10^-7 m/s², lune 1.2 10^-6 m/s², traînée variable 5 10^-8 m/s², pression de radiation 5 10^-8 m/s²

f) Ordres de grandeur comparatif des différentes sources:

Dans les applica

tions pratiques,, il est important de savoir quelle perturbation est la plus dangereuse ? L'ordre de grandeur, en termes de module d'accélération peut être utile. Les valeurs sont en m/s².

La loi fondamentale de la dynamique donne

Rappelons que les techniques d'intégration numérique demandent la mise sous forme canonique du système sous la forme d'un système différentiel d'ordre 1.

On posera donc une nouvelle variable Y vérifiant le système différentiel fermé

3°) Notion d'orbite osculatrice à l'orbite réelle :

Sous l'effet de la perturbation, l'orbite réelle n'est pas képlérienne, ni plane, ni fermée et naturellement il devient impossible de définir une période et de parler des paramètres orbitaux.

Comment est-elle définie ? Tout simplement en disant que C(t) est l'orbite képlérienne qui serait parcourue par le satellite S après l'instant t, si la perturbation cessait. Cette orbite est donc parfaitement définie par ses conditions initiales et .naturellement les paramètres orbitaux sont calculables.

NB 1 :On observera que deux instants distincts conduisent à deux orbites osculatrices distinctes.

NB 2: Quelle est l'utilité de l'orbite osculatrice à l'instant to? De toute évidence elle permet de prédire des positions futures grâce à des relations simples et maîtrisées des mouvements képlériens. Ces prédictions seront d'autant plus précises que la date est proche de to.

NB3 : De toute évidence si les paramètres orbitaux sont connus en fonction de t, la position-vitesse r, V, du satellite est alors parfaitement connue.

• Orbite képlérienne a= 42164.16 km
• Orbite réelle, circulaire géostationnaire vraie, perturbée, non képlérienne a = 42164.69 km
• Orbite képlérienne osculatrice à l'orbite précédente,( le satellite est toujours au périgée de son orbite osculatrice) on trouve alors a = 42166.25 km, e = 3.71 10^-5

Remarque sur les paramètres orbitaux : En hypothèse képlérienne, les 5 premiers paramètres orbitaux sont constants et représentent des intégrales premières du mouvement, le sixième M variant linéairement en fonction du temps t.

En présence de perturbations, les vecteurs fondamentaux sont lentement variables entraînant une dérive des paramètres orbitaux. C'est précisément l'objet de ce cours que de donner les équations d'évolution.

II EQUATIONS DE GAUSS :

Nous souhaitons former les équations d'évolution des paramètres orbitaux. Pour y parvenir, opérons un changement de fonction inconnue, en posant par exemple:

ces équations s'appellent "EQUATIONS DE GAUSS ", nous allons les expliciter.

Nous traitons le cas général des orbites non circulaires et non équatoriales.

a) Notations et conventions de calcul :

On définit des axes R, T, N radial, orthoradial et normal et des composantes radiale Rp, orthoradialeTp et normale Np, de la perturbation:

b) Calcul de l'évolution de a :

Les calculs sont relativement lourds et pénibles, nous renvoyons le lecteur aux ouvrages spécialisés, mais donnons le détail de formation de la première équation concernant la dérivée du demi grand axe a.

Tout repose sur l'équation de l'énergie et le théorème de l'énergie cinétique.

Compte tenu de l'équation polaire de l'ellipse

Telle est la première des équations de Gauss.

c) TABLEAU RECAPITULATIF DES EQUATIONS DE GAUSS:

On utilise aussi les axes t, n, W pour décrire les forces perturbatrices, notamment quand il s'agit du frottement atmosphérique, en confondant vitesse absolue et relative.

L'axe t est l'unitaire tangent à l'orbite.

L'axe W est l'unitaire, portant le moment cinétique orbital, donc normal au plan orbital

L'axe n est la normale unitaire, dans le plan orbital, dirigée vers l'intérieur de l'orbite.

Nous noterons alors T, N, W les nouvelles composantes. ATTENTION: ne pas confondre T et N avec les composantes du chapitre précédent.

Pour les orbites non circulaires et non équatoriales, les calculs non explicités ici donnent:

4°) EQUATIONS DE GAUSS( Cas particuliers):

Nous entendons par cas particuliers, les orbites circulaires (e=0), puis les orbites équatoriales (i=0), et enfin les orbites circulaires équatoriales ( e=i=0 ).

III MANOEUVRES IMPULSIONNELLES :

La représentation du phénomène fait appel à la fonction de Dirac.

Les fonctions Ai, Bi, Ci sont données dans les équations de Gauss, ainsi :

Conclusion très simple, dans une manœuvre impulsionnelle , les variations des paramètres sont :

IV QUELQUES EXEMPLES :

Les perturbations étant très faibles devant l'attraction newtonienne, les variations instantanées des paramètres orbitaux ne présentent que peu d'intérêt dans la plupart des applications. Seules les variations séculaires, moyennées sur une période sont intéressantes.

RESULTATS:

Balayons l'ensemble des paramètres orbitaux: Certains sont invariants en moyenne, d'autres présentent des dérives séculaires ( dérives moyennées rappelons-le )

Les paramètres a, e, i sont invariants en moyenne.

2°) Freinage atmosphérique :

Agissant par les composantes radiale et orthoradiale l'action se fait sentir sur de nombreux paramètres, surtout sur a et e mais n'affecte pas l'inclinaison.

Estimation de la force de freinage : la masse volumique de l'air vaut

Pour des orbites elliptiques, le freinage atmosphérique est surtout efficace au périgée, où le satellite ne reste pas longtemps. On peut traiter son influence comme une manœuvre impulsionnelle de périgée qui affecte essentiellement l'apogée. L'orbite se circularise. Ensuite c'est la descente inexorable vers les couches atmosphériques de plus en plus denses, ce qui accélère le mouvement. En quelques semaines, un satellite en orbite basse se retrouve "au tapis".

L'effet principal est une diminution de l'inclinaison orbitale, nécessitant des corrections annuelles coûteuses. La dérive maximum de l'inclinaison peut atteindre 0°.95/an.

L'effet principal est une modification périodique de l'excentricité de l'orbite.

Pour ceux qui sont concernés par cette question, je préfère ne pas donner de résultats non justifiés et les envoyer vers les ouvrages spécialisés du CNES en particulier.

5°) EXEMPLES D'UTILISATION DE LA PERTURBATION J2: